Дискретизация и квантование сигналов

В систему обработки информации сигналы поступают, как правило, в непрерывном виде. Далее они преобразуются к дискретному виду, более удобному для обработки. Для этого выполняются операции дискретизации (по времени) и квантования (по уровню). Получившиеся дискретные отсчеты кодируются тем или иным образом, и на вход вычислителя системы ЦОС поступает последовательность цифр. Операции дискретизации и квантования, выполняются АЦП, операции преобразования цифрового сигнала в аналоговый – ЦАП.

Дискретизация непрерывных сигналов

Под дискретизацией понимается преобразование непрерывного сигнала в дискретный, представляемый совокупностью отсчетов, по которым непрерывный сигнал может быть восстановлен с заданной точностью. Без потери общности везде в данной главе будем предполагать, что отсчеты сигнала являются отсчетами времени. Интервал времени T, через который берутся значения непрерывного сигнала называется интервалом, или шагом дискретизации. Обратная шагу дискретизации величина называется частотой дискретизации, или частотой взятия отсчетов f_Д.

На рисунках 1 и 2 показан процесс дискретизации непрерывного сигнала x(t). Рисунок 1 - исходный сигнал. Рисунок 2 - сигнал после дискретизации.

Рисунок 1

Рисунок 2

Возникает вопрос: с какой частотой брать отсчеты сигнала для того, чтобы была возможность его обратного восстановления по этим отсчетам? Очевидно, что если мы будем брать отсчеты слишком редко, то в них не будет содержаться информация о быстро меняющемся сигнале. Скорость изменения сигнала характеризуется верхней частотой его спектра. Таким образом, интуитивно понятно, что минимально допустимая ширина интервала дискретизации связана с наибольшей частотой спектра сигнала, обратно пропорциональна ей.

Тогда если сигнал не ограничен по спектру (верхняя частота стремится к бесконечности), то минимально допустимая величина интервала дискретизации будет стремиться к нулю. Отсюда следует важный вывод: без потерь информации дискретными отсчетами могут быть представлены лишь ограниченные по спектру аналоговые сигналы. Именно поэтому в системах ЦОС перед выполнением дискретизации сигнала его спектр ограничивается путем применения фильтра низких частот, который называется еще антиэлайзинговым фильтром. К сожалению, этот фильтр искажает форму входного сигнала. По-видимому, единственный способ бороться с искажениями – это резко увеличить полосу пропускания системы.

Явление элайзинга заключается в возникновении искажений сигнала за счет наложения спектра при неудачном выборе частоты дискретизации. Дискретизация во времени приводит к появлению периодических копий спектра сигнала, как показано на рисунке 3. При слишком малой частоте дискретизации эти копии перекрываются, что приводит к искажениям сигнала при его восстановлении (рисунок 3, б). Гармоники сигнала с частотами выше частоты дискретизации отображаются в частоты ниже этой частоты, создавая помехи. Как видно из рисунка 3(а) предельная частота дискретизации f_Д , при которой перекрытия еще не происходит равна удвоенной верхней частоте спектра сигнала, 2F_B. Эта частота называется частотой Найквиста. Дискретизация с частотой Найквиста называется предельной дискретизацией. Сигнал, дискретизированный с f_Д > 2F_B, называется передискретизированным сигналом. Несмотря на то, что в этом случае получается избыточно большое число отсчетов, иногда такая техника необходима, особенно при анализе сигналов, выделении каких-то признаков. Кроме того, передискретизация широко применяется внутри современных АЦП.

Рисунок 3

Если шаг дискретизации постоянен, то дискретизация называется равномерной, в противном случае – неравномерной. При неравномерной дискретизации шаг "подстраивается" под скорость изменения сигнала, увеличиваясь на гладких, мало информативных участках. Несмотря на то, что при этом уменьшается количество несущих всю информацию о сигнале отсчетов, появляется потребность в хранении значения интервала дискретизации между каждой парой отсчетов. Поэтому, неравномерная дискретизация редко применяется на практике.

Для случая равномерной дискретизации справедлива теорема Котельникова, которую он опубликовал в 1933 году в работе "О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи". Она гласит: если непрерывный сигнал гнал x(t) имеет спектр, ограниченный частотой F_B , то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени T = 1/2F_B , т.е. с частотой f_Д = 2F_B.

Восстановление сигнала осуществляется при помощи функции sinc(x) = sin(x) / x. Функция sinc(x) называется еще функцией отсчетов или Котельникова и имеет бесконечную протяженность по времени и достигает наибольшего значения, равного единице.

Теорема Котельникова широко применяется при выборе частоты дискретизации сигналов на практике. Обычно частоту дискретизации выбирают с небольшим запасом, чтобы учесть неидеальные характеристики фильтров (антиэлайзингового и реконструкции), невозможность формирования дельта-импульсов, а также ограниченность сигнала по времени. В самом деле, у ограниченного по времени сигнала принципиально не может быть ограниченного спектра, значит при дискретизации возникнут искажения.

Надо отметить, что точная интерполяция возможна только при использовании физически нереализуемых фильтров, то есть в теории. На практике же возникает ошибка интерполяции, величину которой можно строго рассчитать. Наличие этой ошибки является одной из причин различия звучания аналогового и цифрового звука (винил и CD).